三角形中线定理证明
三角形中线定理，又称阿波罗尼奥斯定理，表述三角形三边和中线长度关系。定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。即，对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：AB²+AC²=2(BI²+AI²)。
证明方法一：以中点为原点，在水平和竖直方向建立坐标系，设：A(m,n),B(-a,0),C(a,0)，则：(AD)²+(CD)²=m²+n²+a²，(AB)²+(AC)²=(m+a)²+n²+(m-a)²+n²=2(m²+a²+n²)，∴(AB)²+(AC)²=2[(AD)²+(CD)²]。
证明方法二：在不同三角形中，对同一个角用两次余弦定理，比如对图示中的∠B（或者∠C）在△ABD和△ABC（或者△ACD和△ABC）使用余弦定理，从而直接得到三角形边长的关系，进而得证。
三角形中线定理是几何学中的重要概念，被广泛运用在数学、物理等各个科学领域中。
